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归纳法是谁_大众点评前九

文章发布时间:2020-06-21 14:06:30
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数学归纳法是谁发明的

数学归纳法

帕斯卡是数学归纳法的主要发明人

数学归纳法〔Mathematical Induction〕是用来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。它的步骤是:

验证n=1时命题成立〔这叫归纳的基础,或递推的基础〕;

假设n=k时命题成立〔这叫归纳假设,或叫递推的根据〕,在这假设下证明n=k+1时命题成立。

根据1、2可以断定命题对一切自然数都成立。

数学归纳法的思想可以远推至欧几里得〔前330-前275〕。严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的。1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯〔1494-1575〕在他的《算术》一书中明确提出了这一方法,并且用它证了 1+3+……+(2n+1)=(n+1)2 等;法国著名数学家帕斯卡〔1623-1662〕承认莫洛克斯引用了这方法,并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。

因此,一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人。由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号,因此组合公式及证明只能用叙述的方法,1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然数的符号,在他的名著《猜度术》〔1713〕中包含运用数学归纳法证题的出色例子。『数学归纳法』这个名称及数学归纳法的证题形式是德?摩根〔1806-1871〕所提出的。皮亚诺〔1858-1932〕的自然数公理中包含了归纳原理。

归纳法,演绎法是谁发明的那么是谁最先使用的

欧几里德::归纳法简史归纳思想的产生,在几千年以前作为数学归纳法重要基础的归纳推理和演绎推理,可以追溯到公元前六世纪的毕达哥拉斯时代而公元前三世纪的欧几里德在证明“质数的个数是无穷的”时指出:若有n个质数,必有n+1个质数”,实际上包含了数学归纳法的思想.

归纳法早于演绎法

科学归纳法的创始人是谁

一般认为是培根,把逻辑与科学方法结合起来,成为近代归纳逻辑的创始人。

培根,英国文艺复兴时期最重要的散文家、哲学家。

英国唯物主义哲学家,实验科学的创始人,是近代归纳法的创始人,又是给科学研究程序进行逻辑组织化的先驱。

第一位系统的提出归纳法的哲学家是谁

泰利斯(约前624—前547) 古希腊米利都学派的创始人,西方哲学史上第一位哲学家。出身于米利都的名门望族。据说他最早研究天文学,曾预言过公元前585年5月25日的一次日食。据说在政治上由于主张和波斯联盟而使伊奥尼亚免除灭顶之灾。他被认为是第一个把埃及的丈量土地的方法引入希腊的人,奠定了希腊几何学基础。博学多艺,被称为希腊七贤之一。在哲学上,他首先摆脱用神创说去解释万物的产生,提出并探讨了水是万物的本原,其思想被视为西方哲学的开端。他从具体事物中寻找自然万物的统一性,具有朴素唯物主义观点。但又认为万物都有灵魂,具有物活论思想

怎么理解归纳法被称为发现的逻辑

对于科学发现的思维规律,存在着两种对立的学说:一是归纳与演绎理论,二是假说与演绎理论。由于这两种理论都有其缺陷,因而有许多学者,特别是国内的学者,总是试图将两者结合起来,以使它们既不遭到致命的损害,又能保留两者的优点。但这种尝试是在不能考察归纳与演绎理论的合理性前提下进行的。文章通过强化休谟的怀疑论证,对归纳原理提出进一步的质疑,从而否定它在科学发现中的地位;在此基础上,对假说演绎的科学发现观进行适当的修正。  

一 归纳问题的困境  

自休谟对归纳推理的合理性提出质疑以来,哲学家们已经提出了多种对其进行辩护的方案,但这些辩护方案都存在着这样或那样的问题,以致产生了这种说法:“归纳法是自然科学的胜利,却是哲学的耻辱。”[1]对于这种观点,我们必须澄清的问题是:自然科学的胜利是否像哲学家所认为的那样是依靠归纳法取得的?如果说归纳法给哲学带来耻辱,那么,哲学家在寻求归纳推理的辩护方法时必然犯了某种错误,而这个错误又是什么呢?简单地讲,我们必须明确,在科学发现的过程中,究竟有没有归纳推理的地位?或者更准确地讲,归纳推理是否是科学家的真实思维过程?  

有一点是确凿无疑的,那就是存在着扩展性的思维进程;通过这一思维过程,人们获取进行演绎推理的一般性前提。否则,演绎推理所依赖的一般性前提的来源就是神秘的。还有一点同样可以肯定:无论哲学家把多少种推理形式归于归纳推理的名下,也不管推崇归纳法的哲学家如何贬低简单枚举法,但是,在研究归纳法时,哲学家们都是以简单枚举法为标准归纳原理的。所以,我们必须着重考察这种“推理”形式。  

简单枚举法推理的基本过程是:  S1是P;  S2是P;  …  Sn是P;  n的数量足够大,并且没有发现任何一个反例。  

所以,所有S都是P。  

以这种形式的归纳原理为蓝本,休谟对其合理性进行了怀疑主义论证:(1)归纳原理不能得到演绎辩护。因为在归纳推理中,存在着两次逻辑跳跃,一是从实际观察到的有限事例跳跃到涉及潜无穷对象的全称结论;二是从过去、现在的经验跳跃到对未来的预测。而这两者都没有演绎逻辑的保证,因为适用于有限的不一定适用于无限,并且将来可能与过去和现在不同。(2)归纳推理的有效性也不能归纳地证明。因为根据归纳法在实践中的成功去证明归纳法,就必须用到归纳原理,由此导致无穷倒退或循环论证。 

休谟的论证是强有力的。但是,我们依然可以进一步强化这种论证。(1)对归纳原理的演绎辩护方案本身就是不合理的。归纳推理具有或然性,就是说,从正确的归纳前提出发所得出的一般性结论未必是正确的。所以,如果真的有人找到了对它进行演绎证明的严格方法与步骤,那么,归纳推理就会改变其或然性的逻辑特征,而成为必然性推理了。倘若如此,归纳推理和归纳问题就不复存在了。由此看来,寻求对归纳原理的演绎证明本身就是不合理的。(2)对归纳原理的归纳辩护方案本身也是不合理的。既然归纳推理的或然性是确凿的事实,那么,人们就无法对归纳推理进行归纳证明。因为,归纳原理要求其前提必须是真实的,并且没有反例;而对归纳原理之运用却存在着大量的失败案例。所以,对归纳原理的归纳证明从其自己的要求上说就是虚假的归纳证明,因而根本谈不上归纳证明的无穷倒退或循环论证。  

由于归纳原理的演绎辩护方案和归纳辩护方案都是不合理的,归纳原理之合理性便因此受到彻底的质疑。但是,休谟以及以后的许多哲学家还是极力为归纳原理进行辩护,因为在他们看来,无论如何人们都无法否认归纳原理在形成常识和经验科学发展中的作用。与此相反,我们认为,哲学家们相信归纳原理在科学发现中被广泛运用有其合理性的原因,是过分关注久已凝固的归纳推理形式的结果,而没有思考这种简单的思维形式在科学发现中是否真正地出现过,或者说,归纳原理所规定的思维模式与科学发现中的真实思维进程是否相符。这是导致哲学家犯错误的根源。对归纳原理简单形式的过分推崇产生了不良的倾向,似乎科学的发现不怎么需要机智和敏锐,反而能拉平人的智力;就像画一条直线或画一个圆一样,若借助于直尺和圆规,是不需要什么技能的。然而事实是,在科学的历史中,做出重要发现的科学家向来是凤毛麟角的。正因为如此,科学探索活动才成为一项充满冒险并且需要智慧的事业。从本质上讲,归纳原理的推理形式把科学发现所需要的创造性降低为简单的机械操作,似乎科学家通过有限的机械步骤就可以做出科学的发现。[3]

就是在这一点上,归纳原理与科学发展史的实际不相符合。  

那么,为什么归纳原理不能反映科学发现的真实思维进程呢?  在我看来,归纳原理所规定的思维进程的第一个谬误是,它必然使科学发现成为神秘力量的结果。同波普一样,罗姆·哈瑞指出:“归纳主义为什么是错误的真正理由是,它是不现实的。它试图编制一个多少神秘的科学概念。”

我同意他们的观点,但由于他们没有谁能够将问题说得更简明、更切中要害,所以,在此不必引述他们的论述。应该说,包括休谟给予归纳原理心理层次辩护在内的许多辩护方案,其目的是要取消归纳推理的神秘性。就其企图消除归纳法的神秘性而言,他们的意图是合理的要求;无论如何,人类的任何探索活动都以消除神秘性为基本目标之一。但是问题在于,他们并没有最终消除归纳原理的神秘性,而是将这种神秘性隐藏起来。就归纳推理的中间步骤,休谟以后的哲学家提出这样一个问题:需要多大数量的观察实例,才足以形成能够保证推出真实的一般性结论呢?例如,人们需要观察多少只白天鹅,才能从逻辑上保证下一只被观察到的天鹅也一定是白的,而不是黑的或者是其他颜色的呢?这样的问题肯定不会有确切的答案。不过,如果我们换一种提问的方式,不管归纳推理是否确实存在着这样一个观察次数是多少的规定,关键的问题仅在于:对于一个严格按照归纳原理推理步骤进行研究的人来说,一般性的结论是在什么时候在他的头脑中出现呢?是在获得足够数量的观察事实之后还是仅仅需要为数极其有限的观察事实呢?无疑,这个问题只有两个可能的答案。如果在研究者的头脑中出现一般性结论的时机是在获得足够数量的观察事实之后,那么,研究者在无任何一般性前提的引导下,是什么力量驱使他在开始研究工作时不间断地收集一系列观察事实呢?在这种情况之下,无论我们给予此问题什么样的答案,都会导致归纳推理进程的神秘性——无引导性的反复实验和观察之动机,进而又反过来说明研究者研究活动的非智力性与非创造性。因为研究者既不知道为什么要这样去做,也不知道一般结论的任何信息。至此,彻底的经验主义的发现观走到了尽头。当然,如果在研究者的头脑中出现一般性结论的时机仅仅需要为数极其有限的观察事实,甚至仅仅需要一个这样的事实,问题的性质就会发生根本性的转变,即发现一般结论的过程从本质上说不是归纳的结果。这个问题我们还要在后面作深入地研究。  

归纳原理的第二个谬误是,传统以具体事例讨论归纳原理时所描述的一般性结论,与科学理论中的一般性陈述的复杂程度不同。在讨论归纳原理研究时,人们经常集中引用几个著名的事例,从这些事例所得出一般结论“所有S是P”中的“性质P”是直观的,往往无需人们发挥创造力。例如:“每一只天鹅都是白的”、“每一天太阳都从东方升起”等等。讨论如此这般的事例只有在如下意义上是合理的:如果日常生活中的简单归纳推理事例都不能得到合理的解释,那么我们就更无法解释科学探索中归纳推理运用的合理性。但是这样一来,哲学家们就在实际上把科学研究思维活动降低为日常生活思维。为了清楚地说明这个问题,我们考察如下两个科学普遍命题:  

(1)在平面内的任意三角形,其内角和为180度°。  

(2)任何物体,其运动的改变和所加的动力成正比。  

从这两个命题中,充当谓词的是研究对象诸规定性之间的关系,而不是简单的、可直观的事物单一的性质。这意味着,在科学研究中通过一个事例发现研究对象各种属性之间关系,绝不像确定观察到的天鹅是否是白的或者某一天太阳是否从东方升起那样是直观上可以确定的、简便易行的。这强化了前面提到的问题:是什么力量驱使研究者在进行研究工作中不断收集一系列观察事例,以满足归纳原理的要求呢?  

二 归纳法在科学研究中的非现实性  

波普提出科学发现的逻辑不是归纳与演绎的过程,而是假说与演绎的过程。在此,我们同样认为消除归纳原理所规定的思维程序神秘性的有效途径和惟一途径是,将归纳原理在科学发现中清除出去。非常清楚的是,在科学探索活动中将归纳法排除出去的举动必然会遇到强烈的反对。波普的理论不能得到有效认同的原因之一就是,除了休谟对归纳原理的诘难之外,没有提供将归纳法排除到科学发现观之外的清晰而明确的理由。所以,我们必须对各种可能的反对意见进行详尽的考察。  

第一种反对意见可能是,如果归纳法在科学发现中是不存在的,那么为什么在科学家的著作中还大量存在着对这种方法的运用呢?对此,我们的回答是,以往人们把科学家成熟的作品中的论述方式与他在从事科学发现活动中的思维进程混淆为一谈,而这两者实际上是不同的。事实上,归纳法的运用是隐含的假说与演绎及其检验过程;他们不采取直接的假说——演绎形式不过是一种修辞手法,通过它来强化假说无例外的经验事实依据,并且以此发挥“事实胜于雄辩”的力量。正是在这种意义上说,逻辑经验主义是正确的:它将归纳推理看作是证明的逻辑,而不是发现的逻辑。所以,当哲学家关注归纳原理时,他们实际上是把它的形式当成既成的凝固化的事实,而没有考察科学探索活动中科学家为什么会搜集一系列经验事实的问题,从而导致这一过程的神秘化。  

第二种意见可能是,将通过归纳法得出“所有的天鹅都是白的”或“每一天太阳都从东方升起”来说明科学发现的归纳推理确实有简单化的倾向,但由此不能排除归纳推理在日常实践中的应用。对此,我们的答复与上一个问题是完全一致的,区别仅在于:在日常实践中,人们可以知道许多“某个S是P”的经验事实,但在人们没有尝试进行概括之前,他们并没有把这些经验事实当作归纳推理的前提,而仅仅是知道它们(不管人们知道多少这样的经验事实,它们在人的头脑中也是没有有效组织的)。一旦人们想对以前知道的经验事实进行概括时,他们所面对的问题就是“是否所有S都是P”。特别需要注意的是,这个问题本身实际上就是假说的隐含形式。只有在提出这样的问题之后,他们才会考察以前是否遇到过反例;如果没有遇到过反例,则会进一步收集经验事实。所有这些都不再是为归纳推理准备更多的前提,而是检验“所有S都是P”这个在问题中蕴含的可能结论的正确性。  

第三种意见可能是,归纳法不仅包括简单枚举法,而且包括完全枚举法和寻求因果关系的米尔法,而这些方法是在科学研究中大量运用的,所以,将归纳法排除出去的做法会产生过度伤害作用。对于这个问题,我们不妨分别考察几种被国内学者纳入归纳法的推理形式。对于完全枚举法,不管其涉及的对象的数量是多还是少,运用此种方法就不可避免地遇到这样的问题:当他们发现第一个对象具有某种属性后,为什么还要通过观察或实验搜集第二个甚至更多同类对象是否具有这种属性呢?如果不想在科学发现中设置神秘的力量,那么情况必然是,当研究者想通过观察或实验搜集第二个对象是否有这样的属性时,在他的头脑中已经形成了“是否同类对象都有这种性质”的问题。就是说,研究者已经有了一般性的结论,只不过此时他对于全称性结论尚存怀疑,所以,他进一步搜集经验事实的真正目的是想验证那个一般性结论,而不是其他。对于米尔五法,我们可以断定的是,其思维形式实际上不是归纳推理而是演绎推理。

以求同法(为简便起见,我们将它最大限度地进行简化)为例:  场合  先行情况  被研究现象  (1)A,B a  (2)A,C a  所以,A是a的原因  

之所以说求同法是演绎推理,是因为它有一个预设前提:“a的原因要么是A,要么是B,要么是C。”从这个前提出发,

通过不同的场合我们可以演绎地排除B和C这两种情况。理由是,如果B是a的原因,那么a就不会在场合(2)中出现;如果C是a的原因,那么a就不会在场合(1)中出现,所以,运用选言推理的有效形式,可以断定:A是a的原因。既然如此,人们为什么还将它纳入归纳法之列呢?其原因是,依据此种方法而得出的结论未必是真实的,因而人们将这种推理看成是或然性推理。在这里所出现的错误是,由于人们忽视了其中隐含的大前提,并且强调任何一个场合所提供的情况都是真实的,所以误以为这个推理的所有前提都是真的,因而整个推理具有或然性。然而,人们既然没有注意到那个隐含的选择性假说,也就不可能注意到它恰恰可能是错误的,并进一步导致演绎推理结论也可能是错误的。推出错误的结论不是归纳方法的专利,形式有效的演绎推理同样可能出现错误的结论,因为演绎逻辑的根本特征是形式有效性;只能在满足前提真实的情况下,它才保证结论的正确性,因而保真性只是演绎推理在特定条件下的推论,而不是其根本特征的总体描述。  当然,还有许多被称为归纳推理的思维形式,但严格说来,没有什么可以被归入以简单枚举法为标准的归纳原理范围的推理形式。归纳主义对归纳法的推崇不仅仅导致归纳思维程序的神秘性,而且更为重要的是忽略了科学研究的一个重要目标就是对确定性的寻求,而确定性的最高保证就是以全称命题为前提的演绎法;或者可以这样说,正因为归纳主义有意或无意地忘记了由问题隐藏起来的理性目标的指引,才导致了归纳法的神秘性。所以,在明确科学研究目标的情况之下,科学家是不需要过多的观察事实就可以跳跃到一般性结论的。另外,我们同样强调除了简单枚举法之外的其他归纳形式在提出科学假说中的重要地位和作用,我们与归纳主义的本质区别仅在于:无论科学家运用什么样的方法,他是否有理性目标的引导。如果把从个别到一般的思维进程界定为归纳法,那么,归纳法本身有其存在的必然性与合理性。当我们试图将归纳原理排除出科学发现的思维方法时,也仅仅是针对归纳原理的标准程序的不真实性而言的。  

三 对假说—演绎法的修正  

综上所述,我们同意波普的观点:在科学发现的逻辑中没有归纳原理的地位,只有假说演绎方法才是科学发现的真实思维进程。但是,波普的发现观又确实存在着一定的问题,因而需要某种程度的修正。  

具体的科学研究活动确实始于问题。但以往的假说演绎的科学发现观忽视了一个极为简单又十分重要的前提,即科学研究活动始于科学家所持有的对自然界普遍存在严格的秩序或规律的坚定信念,并且这种信念与他们所研究的具体领域无关。对于科学家所面对的问题而言,这种信念的重要性在于,一方面问题的提出有其自身的规律可循;另一方面,如果科学研究活动始于问题,就必然导致“问题是如何被提出来的”问题就被排除到科学研究活动之外了。我们认为,对于科学研究的整个过程而言,这种信念是科学研究的基础和原始出发点,是研究活动的最根本的假说和有待在具体研究领域进行具体化的目标。  

作为科学研究活动的基础和原始出发点,对自然界普遍存在严格的秩序或规律的信念本身蕴含两个问题:一是为什么自然界是有秩序或规律的;二是为什么科学家会相信自然界是有秩序或规律的。对于第一个问题,人类不必用自己的逻辑证明去保证。无论如何,如果自然界普遍存在着秩序或规律,那它也是先在于人类自身的;人类理智的作用仅仅在于如何获得对于它们的认识。要寻求对第二个问题的解答是极其困难的,这与归纳主义者依靠自然齐一性以便使归纳法获得依据所遇到的困难有类似之处。但我们认为,既然科学理论的普遍命题所涉及的都是普遍概念(通名或共相)之间的关系,既然罗素已经揭示出殊名是隐含的摹状词,此问题的秘密就必然存在于什么是共相这个千古难题之中。不过这个问题已经大大超出本文的讨论范围。在共相问题没有得到令人满意的答案之前,我们倾向于认为,科学家对自然界普遍存在着秩序或规律的信念,在很大程度上是出于对这种信念本身所具有的效用的有意识或无意识的依赖:没有这样的信念,就不可能有科学研究活动的产生和发展。因为,科学研究的目标是寻求确定性,人们通过对确定性的把握就可以认识世间变动不居的事物,预期事物运动变化的结果,这些结果对于人自身的利害关系,以及人们将采取何种又如何采取行动来利用或回避它们。假若相反,科学家不抱有这样的信念,那在他们的心目中的自然界就是毫无确定性可言的,而这样一来,人们对于自然界将永远处于无知无为的境遇之中:既无法预知事物将来的存在状态,更无法利用或回避大自然对于人类所造成的影响。纵观这两种截然对立的信念所导致的两种完全不同的效用,科学家所持有的信念只能是前者而不是相反——归根到底,人类是因为关照自身的命运才去关心自然的。

另外,自然界并不需要一个多少独立的树立其上的信念控制作用,只有人类才需要并完全依靠于它。更准确地讲,这种信念是人类最初的和永恒的假说,也是一切认知行为与实践活动的最终依据。从科学家所持有的这种信念出发,他们可以逻辑地确认他们所研究的现象也是有秩序、有规律可循的。尽管科学家在开始研究某类现象时并不知道其中的秩序或规律是什么,从此信念不能逻辑地推出他们要寻找的此类现象的规律,但是由此他们可以确立自己研究活动的具体目标或方向:此类现象服从什么样的规律?应该用什么样的一般陈述刻画此类现象呢?  

当然,尽管研究者的目的是发现关于某类现象的一般性命题,但是他首先要解决的或面对的是有关此类现象中某个具体客体的观察或实验结果。一旦科学家确信这些经验事实是真实的之后,他的工作要点就变成从中寻找一套恰当的概念体系或模式;借助它,这些经验事实可以获得明白的解释。这是一个需要人们发挥创造性和不懈努力的过程,因而是非理性因素充分发挥作用的理想场所。当科学家发现了符合经验事实的模式后,由于此模式仅属于特定客体的模式,他所面对的进一步问题就是能否从特定客体的模式向这个特定客体所属类的普遍模式跳跃,即从单称命题向全称命题跳跃呢?  

在此,我们有必要考察直言命题对当关系推理中命题(1)“所有的S都是P”和命题(2)“有些S是P”之间的关系。这两个命题之间是从属关系:它们可以同真也可以同假;具体地讲,前者真则后者亦真,后者假则前者亦假,前者假则后者可真可假,后者真则前者可真可假。我们应该特别注意两点:一是逻辑学中的“有些”是至少有一个的意思,所以只要有一个对象具有性质P,命题(2)就是真的;二是虽然从命题(2)的真不能演绎出(或保证)命题(1)的真,而只能得出命题(1)可能是真的,但是从命题(2)到命题(1)确实为思维从个别到一般的成功飞跃提供了可能性。因此,一方面,如果命题(1)涉及的是潜无限的对象,那么在从个别上升到一般的过程中,演绎逻辑并没有设置需要多少个单称命题才能上升到命题(1)的数量限制。因为既然面对人类实践中无法穷尽的潜无穷,提供多少个个别经验从逻辑的角度讲都会落入“有些”这个量词的限制之中,其中提供一个个别经验与提供十个或一百个没有什么逻辑差别。另一方面,也只有在这种意义上,我们才承认存在着扩展性思维过程;它不保证由此而得到的结论一定是真实的,但为我们进行演绎推理提供了一般性前提。  

所以,这个从表面看来与归纳原理所遇到的困难是相同的问题,其实质却根本不同。归纳原理的或然性并没有阻止笃信这种方法的人寻求通过设定这样或那样的条件得出真实结论的努力,过分地要求人们搜集一系列经验前提而不过问为什么这样做的真实理由,因而使归纳过程成为由神秘力量驱使的思维和实践进程。相反的,假说与演绎的发现观仅对从个别到一般的飞跃设定最低条件,即相对单一且真实的经验事实,包含一般性假说的问题和单一经验事实的概念模式,因而将飞跃的结果看成是猜想或猜测。从这个猜想或猜测出发,逻辑地演绎出一系列经验结论,并通过观察和实验来检验猜想或猜测的真实性。如果进一步的观察或实验结果与猜想不相符合,那么这个猜想就结束了它的使命,科学家会寻求其他的猜想取代它;如果相符,那么猜想就上升到科学假说的地位,其正确的程度交付给以后不断扩展的观察与实验去检验。因此,搜集一系列经验事实的本质不在于为归纳推理提供前提的过程,而是检验猜想或猜测的过程,其中科学家所提供经验事实的数量和范围的大小对于人们是否承认猜想或猜测为科学假说或理论,并最终是否承认它是真的,起到十分关键性的作用(尽管人们无法提供涉及潜无限的所有经验事实)。在这里,不会出现归纳法的神秘性质,从而更符合科学家在科学发现过程中的思维活动本身。  

综上所述,科学发现的过程是从信念开始,从经验事实或科学理论中提出问题,进而提出能够解释已知经验事实的假说,再通过更多更广的经验事实进行检验的过程;这个过程反过来丰富和强化科学家的基本信念,坚定他们对自然进一步探索的信心,由此为新的探索活动奠定了基础。

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